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使用索引变量的导数

calculus maxima

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flawr · 技术社区 · 7 年前

作为一个例子,我想试着找到

f(x)=\sum\u{i=1}^n x\u i^2

最大值。(预期的输出将是\frac{\partial f}{\partial x\u k}=2x\u k)我尝试了以下操作,但似乎索引变量没有按我预期的方式处理,有人能解释我做错了什么吗

如果用实际数字替换n和k,但不是以这种形式,则相同的命令也有效:

f(x):=1/2*和(x[i]^2,i,1,n); 打印(diff(f(x),x[k]);

在线试用!

如果替换 n 和 k 使用实际数字,但不是此形式:

f(x) := 1/2 * sum( x[i]^2, i, 1, n);
print(diff(f(x),x[k]));

1 回复 | 直到 7 年前

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Robert Dodier 7 年前

默认情况下,Maxima无法处理关于索引变量的导数。我写了几个小软件包来处理这些问题。也许这对你有用。

请参阅: https://pastebin.com/MmYJRqCq (sum\u kron\u delta,Kronecker delta之和) 以及: https://pastebin.com/UGCPgvAn (diff_sum,与索引变量求和的导数)

下面是一个应用于您的问题的示例。我假设您已将上述代码下载到您的计算机上。

(%i1) load ("sum_kron_delta.mac");
(%o1)                         sum_kron_delta.mac
(%i2) load ("diff_sum.mac");
(%o2)                            diff_sum.mac
(%i3) 'diff ('sum (x[i]^2, i, 1, n), x[j]);
                             n
                            ====
                            \
(%o3)                     2  >    x  kron_delta(i, j)
                            /      i
                            ====
                            i = 1

注意,你必须写 'diff('sum(... 也就是说,带引号 ' 表明 diff 和 sum 是名词(形式表达)而不是动词(被称为函数)。这是实施 diff_sum 和 sum_kron_delta 因为它们使用简化规则。(说来话长,如果有兴趣,我可以解释。)

我知道我们得到了kron_delta总和,但我们需要应用简化规则。我们也可以写 expand(%, 0, 0) ''% .

(%i4) ''%;
(%o4) 2 (if (1 <= j) and (j <= n) and %elementp(j, integers) then x  else 0)
                                                                   j

在这一点上,我们得到了最终结果,我们可以用额外的数据进一步简化。

(%i5) assume (j >= 1, j <= n);
(%o5)                          [j >= 1, n >= j]
(%i6) ''%o4;
(%o6)            2 (if %elementp(j, integers) then x  else 0)
                                                    j
(%i7) declare (j, integer);
(%o7)                                done

(%i8) ''%o6;
(%o8)                                2 x
                                        j

如果你觉得这很有成效,我很乐意详细介绍。