获得价值的最快方法是什么?

这个 Monte Carlo method 如前所述,应用了一些伟大的概念,但显然,它不是最快的,不是一个远射,不是任何合理的措施。而且,这一切都取决于你在寻找什么样的准确度。我所知道的最快的数字是硬编码的。看着 Pi 和 Pi[PDF] 有很多公式。

这里有一种方法,每次迭代可快速收敛约14位数字。 PiFast 是当前速度最快的应用程序,将此公式与FFT一起使用。我只写公式,因为代码很简单。这个公式几乎是由 Ramanujan and discovered by Chudnovsky . 这实际上是他如何计算出这个数字的几十亿位,所以这不是一个可以忽略的方法。这个公式会很快溢出,因为我们在除阶乘,所以延迟计算以删除项是有利的。

哪里,

下面是 Brent–Salamin algorithm . 维基百科提到 一 和 乙 那么“足够近了” (a+b)/4t 将是的近似值。我不知道“足够接近”是什么意思,但是从我的测试来看,一次迭代有两位数,两个得到7,三个得到15,当然这是双精度的,所以根据它的表示和 真 计算可能更准确。

let pi_2 iters =
    let rec loop_ a b t p i =
        if i = 0 then a,b,t,p
        else
            let a_n = (a +. b) /. 2.0 
            and b_n = sqrt (a*.b)
            and p_n = 2.0 *. p in
            let t_n = t -. (p *. (a -. a_n) *. (a -. a_n)) in
            loop_ a_n b_n t_n p_n (i - 1)
    in 
    let a,b,t,p = loop_ (1.0) (1.0 /. (sqrt 2.0)) (1.0/.4.0) (1.0) iters in
    (a +. b) *. (a +. b) /. (4.0 *. t)

最后,来点皮球(800位)怎么样?160个字!

int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

我真的很喜欢这个程序,因为它通过观察自己的区域来近似。

IOCC 1988: westley.c

#define _ -F<00||--F-OO--;
int F=00,OO=00;main(){F_OO();printf("%1.3f\n",4.*-F/OO/OO);}F_OO()
{
            _-_-_-_
       _-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
        _-_-_-_-_-_-_-_
            _-_-_-_
}

这是我高中时学过的一种计算圆周率的方法的一般描述。

我只分享这一点,因为我认为它足够简单,任何人都可以无限期地记住它,而且它教给你“蒙特卡洛”方法的概念——这是获得答案的统计方法,似乎不能立即通过随机过程推导出来。

画一个正方形,在这个正方形内刻一个象限(半圆形的四分之一)(半径等于正方形边的一个象限,因此它尽可能地填充正方形)

现在把飞镖扔到广场上,记录它落在哪里——也就是说,在广场内的任何地方选择一个随机点。当然,它降落在正方形内,但它是在半圆形内吗?记录下这个事实。

重复这个过程很多次——你会发现半圆形内的点数与抛出的总数之比,称之为x。

因为正方形的面积是r乘以r,你可以推断出半圆形的面积是x乘以r乘以r(即x乘以r的平方)。因此x乘以4会得到π。

这不是一个快速使用的方法。但这是蒙特卡罗方法的一个很好的例子。如果你环顾四周,你可能会发现许多问题,否则你的计算能力之外的许多问题,可以通过这些方法来解决。

为了实现完整性,C++模板版本,对于优化的构建,将在编译时计算PI的近似值,并将内联到单个值。

#include <iostream>

template<int I>
struct sign
{
    enum {value = (I % 2) == 0 ? 1 : -1};
};

template<int I, int J>
struct pi_calc
{
    inline static double value ()
    {
        return (pi_calc<I-1, J>::value () + pi_calc<I-1, J+1>::value ()) / 2.0;
    }
};

template<int J>
struct pi_calc<0, J>
{
    inline static double value ()
    {
        return (sign<J>::value * 4.0) / (2.0 * J + 1.0) + pi_calc<0, J-1>::value ();
    }
};


template<>
struct pi_calc<0, 0>
{
    inline static double value ()
    {
        return 4.0;
    }
};

template<int I>
struct pi
{
    inline static double value ()
    {
        return pi_calc<I, I>::value ();
    }
};

int main ()
{
    std::cout.precision (12);

    const double pi_value = pi<10>::value ();

    std::cout << "pi ~ " << pi_value << std::endl;

    return 0;
}

注意:对于I>10,优化的构建速度可能很慢,对于非优化的运行也是如此。对于12个迭代,我相信有大约80k个对value()的调用(在没有Memoisation的情况下)。

实际上有一整本书都致力于 快速的 Jonathan和Peter Borwein的“pi和agm”的计算方法( available on Amazon )

我研究了很多AGM和相关的算法:它很有趣(尽管有时很重要)。

注意,要实现大多数现代算法来计算\pi,您需要一个多精度算法库( GMP 是个不错的选择,虽然我上次使用它已经有一段时间了)。

最佳算法的时间复杂度以o(m(n)log(n))表示,其中m(n)是使用基于fft的算法将两个n位整数(m(n)=o(n)log(n))相乘的时间复杂度,这通常是在计算\pi的位数时需要的,并且这种算法在gmp中实现。

请注意,尽管算法背后的数学可能并不简单,但算法本身通常是几行伪代码,它们的实现通常非常简单(如果您选择不编写自己的多精度算法:-)。

以下答案 准确地说,如何以尽可能快的方式做到这一点——用最少的计算工作量 . 即使你不喜欢这个答案,你也必须承认它确实是获得π值的最快方法。

这个 最快的 获取pi值的方法是:

1)选择您最喜欢的编程语言 2)加载其数学库 3)并且发现pi已经在那里定义了——准备好使用了!

万一你手头没有数学图书馆……

这个 第二快 方法(更普遍的解决方案)是:

在Internet上查找pi,例如:

http://www.eveandersson.com/pi/digits/1000000 (100万位)你的浮点精度是多少?)

或在这里:

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/

或在这里:

http://en.wikipedia.org/wiki/Pi

无论您想使用什么精度的算术,找到所需的数字都是非常快的,通过定义一个常量,您可以确保不会浪费宝贵的CPU时间。

这不仅是一个部分幽默的答案,而且在现实中,如果有人继续计算π在实际应用中的价值的话。那将是对CPU时间的极大浪费,不是吗?至少我没有看到一个真正的应用程序试图重新计算这个。

尊敬的主持人:请注意,OP要求:“获取pi值的最快方法”

这个 BBP formula 允许您以2(或16)为基数计算第n个数字,而不必先考虑前面的n-1个数字:)

我不把π定义为常量,而是使用 acos(-1) .

刚刚遇到了一个完整性应该在这里的问题:

calculate PI in Piet

它有一个相当好的特性,可以提高精度,使程序更大。

Here 对语言本身的一些洞察

如果 this article 是真的,那么 algorithm that Bellard 创造可能是最快的。他用台式电脑创造了2.7万亿个圆周率!

…他已经发表了他的 work here

干得好,贝拉德,你是个先锋!

http://www.theregister.co.uk/2010/01/06/very_long_pi/

这是一个“经典”的方法,非常容易实现。 这个实现是用Python(不是很快的语言)实现的:

from math import pi
from time import time


precision = 10**6 # higher value -> higher precision
                  # lower  value -> higher speed

t = time()

calc = 0
for k in xrange(0, precision):
    calc += ((-1)**k) / (2*k+1.)
calc *= 4. # this is just a little optimization

t = time()-t

print "Calculated: %.40f" % calc
print "Costant pi: %.40f" % pi
print "Difference: %.40f" % abs(calc-pi)
print "Time elapsed: %s" % repr(t)

你可以找到更多的信息 here .

无论如何,在python中获得精确的pi值的最快方法是:

from gmpy import pi
print pi(3000) # the rule is the same as 
               # the precision on the previous code

下面是gmpy pi方法的源代码,我认为在这种情况下,代码没有注释那么有用:

static char doc_pi[]="\
pi(n): returns pi with n bits of precision in an mpf object\n\
";

/* This function was originally from netlib, package bmp, by
 * Richard P. Brent. Paulo Cesar Pereira de Andrade converted
 * it to C and used it in his LISP interpreter.
 *
 * Original comments:
 * 
 *   sets mp pi = 3.14159... to the available precision.
 *   uses the gauss-legendre algorithm.
 *   this method requires time o(ln(t)m(t)), so it is slower
 *   than mppi if m(t) = o(t**2), but would be faster for
 *   large t if a faster multiplication algorithm were used
 *   (see comments in mpmul).
 *   for a description of the method, see - multiple-precision
 *   zero-finding and the complexity of elementary function
 *   evaluation (by r. p. brent), in analytic computational
 *   complexity (edited by j. f. traub), academic press, 1976, 151-176.
 *   rounding options not implemented, no guard digits used.
*/
static PyObject *
Pygmpy_pi(PyObject *self, PyObject *args)
{
    PympfObject *pi;
    int precision;
    mpf_t r_i2, r_i3, r_i4;
    mpf_t ix;

    ONE_ARG("pi", "i", &precision);
    if(!(pi = Pympf_new(precision))) {
        return NULL;
    }

    mpf_set_si(pi->f, 1);

    mpf_init(ix);
    mpf_set_ui(ix, 1);

    mpf_init2(r_i2, precision);

    mpf_init2(r_i3, precision);
    mpf_set_d(r_i3, 0.25);

    mpf_init2(r_i4, precision);
    mpf_set_d(r_i4, 0.5);
    mpf_sqrt(r_i4, r_i4);

    for (;;) {
        mpf_set(r_i2, pi->f);
        mpf_add(pi->f, pi->f, r_i4);
        mpf_div_ui(pi->f, pi->f, 2);
        mpf_mul(r_i4, r_i2, r_i4);
        mpf_sub(r_i2, pi->f, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, ix);
        mpf_sub(r_i3, r_i3, r_i2);
        mpf_sqrt(r_i4, r_i4);
        mpf_mul_ui(ix, ix, 2);
        /* Check for convergence */
        if (!(mpf_cmp_si(r_i2, 0) && 
              mpf_get_prec(r_i2) >= (unsigned)precision)) {
            mpf_mul(pi->f, pi->f, r_i4);
            mpf_div(pi->f, pi->f, r_i3);
            break;
        }
    }

    mpf_clear(ix);
    mpf_clear(r_i2);
    mpf_clear(r_i3);
    mpf_clear(r_i4);

    return (PyObject*)pi;
}

编辑: 我对剪切粘贴和识别有点问题,不管怎样你都能找到来源。 here .

如果说“最快”是指输入代码最快,那么下面是 golfscript 解决方案:

;''6666,-2%{2+.2/@*\/10.3??2*+}*`1000<~\;

使用类似机器的公式

176 * arctan (1/57) + 28 * arctan (1/239) - 48 * arctan (1/682) + 96 * arctan(1/12943) 

[; \left( 176 \arctan \frac{1}{57} + 28 \arctan \frac{1}{239} - 48 \arctan \frac{1}{682} + 96 \arctan \frac{1}{12943}\right) ;], for you TeX the World people.

在方案中实现,例如:

(+ (- (+ (* 176 (atan (/ 1 57))) (* 28 (atan (/ 1 239)))) (* 48 (atan (/ 1 682)))) (* 96 (atan (/ 1 12943))))

如果你愿意使用近似值, 355 / 113 适用于6位十进制数字,并具有可用于整数表达式的附加优势。这并不像“浮点数学协处理器”那样重要,但它曾经非常重要。

双打:

4.0 * (4.0 * Math.Atan(0.2) - Math.Atan(1.0 / 239.0))

这将精确到小数点后14位,足以填充一个双精度(不精确可能是因为弧切线中的其余小数被截断)。

还有塞思,是3.14159265358979323846 三 不是64。

用d计算编译时的pi。

(抄袭) DSource.org )

/** Calculate pi at compile time
 *
 * Compile with dmd -c pi.d
 */
module calcpi;

import meta.math;
import meta.conv;

/** real evaluateSeries!(real x, real metafunction!(real y, int n) term)
 *
 * Evaluate a power series at compile time.
 *
 * Given a metafunction of the form
 *  real term!(real y, int n),
 * which gives the nth term of a convergent series at the point y
 * (where the first term is n==1), and a real number x,
 * this metafunction calculates the infinite sum at the point x
 * by adding terms until the sum doesn't change any more.
 */
template evaluateSeries(real x, alias term, int n=1, real sumsofar=0.0)
{
  static if (n>1 && sumsofar == sumsofar + term!(x, n+1)) {
     const real evaluateSeries = sumsofar;
  } else {
     const real evaluateSeries = evaluateSeries!(x, term, n+1, sumsofar + term!(x, n));
  }
}

/*** Calculate atan(x) at compile time.
 *
 * Uses the Maclaurin formula
 *  atan(z) = z - z^3/3 + Z^5/5 - Z^7/7 + ...
 */
template atan(real z)
{
    const real atan = evaluateSeries!(z, atanTerm);
}

template atanTerm(real x, int n)
{
    const real atanTerm =  (n & 1 ? 1 : -1) * pow!(x, 2*n-1)/(2*n-1);
}

/// Machin's formula for pi
/// pi/4 = 4 atan(1/5) - atan(1/239).
pragma(msg, "PI = " ~ fcvt!(4.0 * (4*atan!(1/5.0) - atan!(1/239.0))) );

圆周率正好是3![弗里克教授(辛普森一家)]

开玩笑,但这里有一个C(.NET框架是必需的)。

using System;
using System.Text;

class Program {
    static void Main(string[] args) {
        int Digits = 100;

        BigNumber x = new BigNumber(Digits);
        BigNumber y = new BigNumber(Digits);
        x.ArcTan(16, 5);
        y.ArcTan(4, 239);
        x.Subtract(y);
        string pi = x.ToString();
        Console.WriteLine(pi);
    }
}

public class BigNumber {
    private UInt32[] number;
    private int size;
    private int maxDigits;

    public BigNumber(int maxDigits) {
        this.maxDigits = maxDigits;
        this.size = (int)Math.Ceiling((float)maxDigits * 0.104) + 2;
        number = new UInt32[size];
    }
    public BigNumber(int maxDigits, UInt32 intPart)
        : this(maxDigits) {
        number[0] = intPart;
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            number[i] = 0;
        }
    }
    private void VerifySameSize(BigNumber value) {
        if (Object.ReferenceEquals(this, value))
            throw new Exception("BigNumbers cannot operate on themselves");
        if (value.size != this.size)
            throw new Exception("BigNumbers must have the same size");
    }

    public void Add(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] +
                            value.number[index] + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                carry = 1;
            else
                carry = 0;
            index--;
        }
    }
    public void Subtract(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 borrow = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = 0x100000000U + (UInt64)number[index] -
                            value.number[index] - borrow;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                borrow = 0;
            else
                borrow = 1;
            index--;
        }
    }
    public void Multiply(UInt32 value) {
        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] * value + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            carry = (UInt32)(result >> 32);
            index--;
        }
    }
    public void Divide(UInt32 value) {
        int index = 0;
        while (index < size && number[index] == 0)
            index++;

        UInt32 carry = 0;
        while (index < size) {
            UInt64 result = number[index] + ((UInt64)carry << 32);
            number[index] = (UInt32)(result / (UInt64)value);
            carry = (UInt32)(result % (UInt64)value);
            index++;
        }
    }
    public void Assign(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            number[i] = value.number[i];
        }
    }

    public override string ToString() {
        BigNumber temp = new BigNumber(maxDigits);
        temp.Assign(this);

        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.Append(temp.number[0]);
        sb.Append(System.Globalization.CultureInfo.CurrentCulture.NumberFormat.CurrencyDecimalSeparator);

        int digitCount = 0;
        while (digitCount < maxDigits) {
            temp.number[0] = 0;
            temp.Multiply(100000);
            sb.AppendFormat("{0:D5}", temp.number[0]);
            digitCount += 5;
        }

        return sb.ToString();
    }
    public bool IsZero() {
        foreach (UInt32 item in number) {
            if (item != 0)
                return false;
        }
        return true;
    }

    public void ArcTan(UInt32 multiplicand, UInt32 reciprocal) {
        BigNumber X = new BigNumber(maxDigits, multiplicand);
        X.Divide(reciprocal);
        reciprocal *= reciprocal;

        this.Assign(X);

        BigNumber term = new BigNumber(maxDigits);
        UInt32 divisor = 1;
        bool subtractTerm = true;
        while (true) {
            X.Divide(reciprocal);
            term.Assign(X);
            divisor += 2;
            term.Divide(divisor);
            if (term.IsZero())
                break;

            if (subtractTerm)
                this.Subtract(term);
            else
                this.Add(term);
            subtractTerm = !subtractTerm;
        }
    }
}

这个版本(在Delphi中)没有什么特别的,但它至少比 the version Nick Hodge posted on his blog :)在我的机器上,大约需要16秒来进行10亿次迭代,得到的值为 三点一四一五九二六五 25879(准确部分用粗体表示)。

program calcpi;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses
  SysUtils;

var
  start, finish: TDateTime;

function CalculatePi(iterations: integer): double;
var
  numerator, denominator, i: integer;
  sum: double;
begin
  {
  PI may be approximated with this formula:
  4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 .......)
  //}
  numerator := 1;
  denominator := 1;
  sum := 0;
  for i := 1 to iterations do begin
    sum := sum + (numerator/denominator);
    denominator := denominator + 2;
    numerator := -numerator;
  end;
  Result := 4 * sum;
end;

begin
  try
    start := Now;
    WriteLn(FloatToStr(CalculatePi(StrToInt(ParamStr(1)))));
    finish := Now;
    WriteLn('Seconds:' + FormatDateTime('hh:mm:ss.zz',finish-start));
  except
    on E:Exception do
      Writeln(E.Classname, ': ', E.Message);
  end;
end.

在过去的日子里,我们使用小单词大小和缓慢或不存在的浮点运算,我们经常这样做:

/* Return approximation of n * PI; n is integer */
#define pi_times(n) (((n) * 22) / 7)

对于不需要太高精度的应用程序(例如,视频游戏),这是非常快的,并且足够精确。

如果你想 计算 值的近似值(出于某种原因),您应该尝试使用二进制提取算法。 Bellard's 改进 BBP 给出圆周率o(n^2)。

如果你想 获得 待计算值的近似值,然后:

PI = 3.141592654

当然,这只是一个近似值,并不完全准确。它关闭了0.00000000004102多一点。(四个十万亿分之一,大约 ^四 / _一百亿 )

如果你想的话 数学 用,然后给你自己拿一支铅笔和一张纸或者一个计算机代数包,然后用它的确切值。

如果你真的想要一个公式,这个很有趣:

= 我 LN(- 1)

上面克里斯发布的布伦特方法非常好;布伦特通常是任意精度算术领域的巨人。

如果你只想要第n个数字,著名的 BBP formula 十六进制有用

从圆面积计算:—)

<input id="range" type="range" min="10" max="960" value="10" step="50" oninput="calcPi()">
<br>
<div id="cont"></div>

<script>
function generateCircle(width) {
    var c = width/2;
    var delta = 1.0;
    var str = "";
    var xCount = 0;
    for (var x=0; x <= width; x++) {
        for (var y = 0; y <= width; y++) {
            var d = Math.sqrt((x-c)*(x-c) + (y-c)*(y-c));
            if (d > (width-1)/2) {
                str += '.';
            }
            else {
                xCount++;
                str += 'o';
            }
            str += "&nbsp;" 
        }
        str += "\n";
    }
    var pi = (xCount * 4) / (width * width);
    return [str, pi];
}

function calcPi() {
    var e = document.getElementById("cont");
    var width = document.getElementById("range").value;
    e.innerHTML = "<h4>Generating circle...</h4>";
    setTimeout(function() {
        var circ = generateCircle(width);
        e.innerHTML  = "<pre>" + "π = " + circ[1].toFixed(2) + "\n" + circ[0] +"</pre>";
    }, 200);
}
calcPi();
</script>

更好的方法

获取标准常量的输出,例如 圆周率 或者是标准概念,我们首先应该使用内置方法,即您使用的语言。它将以最快和最好的方式返回值。我正在使用python获取获取值pi的最快方法

• 数学库的pi变量 . 数学库将变量pi存储为常量。

马蒂皮皮耶

import math
print math.pi

使用Linux的时间实用程序运行脚本 /usr/bin/time -v python math_pi.py

输出:

Command being timed: "python math_pi.py"
User time (seconds): 0.01
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 91%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03

• 使用弧cos数学方法

阿克苏派

import math
print math.acos(-1)

使用Linux的时间实用程序运行脚本 /usr/bin/time -v python acos_pi.py

输出:

Command being timed: "python acos_pi.py"
User time (seconds): 0.02
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 94%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03

• 使用 BBP formula

BBPIPI.Py

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec=100
print sum(1/Decimal(16)**k * 
          (Decimal(4)/(8*k+1) - 
           Decimal(2)/(8*k+4) - 
           Decimal(1)/(8*k+5) -
           Decimal(1)/(8*k+6)) for k in range(100))

使用Linux的时间实用程序运行脚本 /usr/bin/time -v python bbp_pi.py

输出:

Command being timed: "python c.py"
User time (seconds): 0.05
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 98%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.06

所以最好的方法是使用语言提供的内置方法,因为它们是获得输出的最快和最好的方法。在python中使用math.pi