如何求解稀疏矩阵的线性方程AX=b

对于稀疏系统,我们通常使用 迭代的 方法。一个原因是像鲁这样的直接求解者。。。因子分解填充初始矩阵(填充的意义是初始零分量被非零分量替换)。在大多数情况下 密集矩阵 无法再放入内存(-> 您的内存错误 ). 简而言之,迭代求解器不会改变稀疏模式,因为它们只涉及矩阵向量积(无填充)。

也就是说,您必须首先知道您的系统是否 对称正定 (又名SPD)在这种情况下,您可以使用 conjugate gradient method . 否则,必须使用非对称系统的方法,如 BiCGSTAB 或 GMRES .

你必须知道,大多数时候我们使用 preconditioner ,尤其是当您的系统处于病态状态时。

查看我发现的特征doc(没有预条件afaik的示例):

  int n = 10000;
  VectorXd x(n), b(n);
  SparseMatrix<double> A(n,n);
  /* ... fill A and b ... */ 
  BiCGSTAB<SparseMatrix<double> > solver;
  solver.compute(A);
  x = solver.solve(b);
  std::cout << "#iterations:     " << solver.iterations() << std::endl;
  std::cout << "estimated error: " << solver.error()      << std::endl;

这可能是一个好的开始(如果矩阵是SPD,则使用共轭梯度法)。注意,这里没有预条件,因此收敛速度肯定会很慢。

概述:大矩阵->迭代法+预条件器。

这真的是第一个“基本/天真”的解释,你可以在 Saad's book: Iterative Methods for Sparse Linear Systems . 同样,这个话题很大,你可以找到很多其他关于这个主题的书。

我不是特征用户,但是有 precondtioners here . -&燃气轮机;不完全LU(非对称系统)或不完全Cholesky(SPD系统)通常是良好的通用预条件,需要首先进行测试。