对 De Casteljau's algorithm 是要走的路。

参数化

如果曲线的参数化不正确 吨 =0槽 吨 =1,那么你似乎用了错误的方程来描述你的曲线。 Wikipedia 有适合您的正确公式:

B( 吨 )=(1) 吨 ) ^3. P _1. +3(1) 吨 ) ^2. 吨 P _2. +3(1) 吨 ) 吨 ^2. P _3. + 吨 ^3. P _4.

[我将维基百科中的索引从基于零的形式调整为基于你的问题的形式。]

如果你设置 吨 =0,你得到 P _1. ,你的出发点。如果你设置 吨 =1,你得到 P _4. ,您的端点。在两者之间,曲线的形状由这些点和两个控制点决定 P _2. 和 P _3. 。

De Casteljau算法

允许 吨 是要在其中剪切曲线的参数。假设您只想保留初始部分。你从 P _1. 到 P _2. ,从那里到 P _3. 从那里到 P _4. .你把每一行都除以分数 吨 其长度,即分界点之前的线的长度与整个长度相关 吨 :1。你现在有三个新观点 P ₁₂ 通过 P ₃₄ .再次执行相同操作可获得两点 P ₁₂₃ 和 P ₂₃₄ ,并再次获得单点 P ₁₂₃₄ 最后一点是B( 吨 ),截断曲线的端点。起点是 P _1. 和以前一样。新的控制点是 P ₁₂ 和 P ₁₂₃ 我们刚才建造它们的方式。

删除曲线的初始部分的方法与此相同。因此,分两步,可以修剪曲线的两端。您可以获得一组新的控制点,这些控制点精确地(达到您使用的数字精度)描述原始曲线的一段,而不涉及近似或类似情况。

你可以将上面所有的几何描述转化为代数公式,在一个完美的世界里,你应该从 this answer 你引用的问题。

唉,这似乎不是一个完美的世界。在撰写本文时,这些公式只使用了二次多项式,因此无法描述三次曲线上的端点。正确的公式应如下所示:

• P’ _1. = u ₀ u ₀ u ₀ P _1. + ( 吨 ₀ u ₀ u ₀ + u ₀ 吨 ₀ u ₀ + u ₀ u ₀ 吨 ₀ ) P _2. + ( 吨 ₀ 吨 ₀ u ₀ + u ₀ 吨 ₀ 吨 ₀ + 吨 ₀ u ₀ 吨 ₀ ) P _3. + 吨 ₀ 吨 ₀ 吨 ₀ P _4.
• P’ _2. = u ₀ u ₀ u _1. P _1. + ( 吨 ₀ u ₀ u _1. + u ₀ 吨 ₀ u _1. + u ₀ u ₀ 吨 _1. ) P _2. + ( 吨 ₀ 吨 ₀ u _1. + u ₀ 吨 ₀ 吨 _1. + 吨 ₀ u ₀ 吨 _1. ) P _3. + 吨 ₀ 吨 ₀ 吨 _1. P _4.
• P’ _3. = u ₀ u _1. u _1. P _1. + ( 吨 ₀ u _1. u _1. + u ₀ 吨 _1. u _1. + u ₀ u _1. 吨 _1. ) P _2. + ( 吨 ₀ 吨 _1. u _1. + u ₀ 吨 _1. 吨 _1. + 吨 ₀ u _1. 吨 _1. ) P _3. + 吨 ₀ 吨 _1. 吨 _1. P _4.
• P’ _4. = u _1. u _1. u _1. P _1. + ( 吨 _1. u _1. u _1. + u _1. 吨 _1. u _1. + u _1. u _1. 吨 _1. ) P _2. + ( 吨 _1. 吨 _1. u _1. + u _1. 吨 _1. 吨 _1. + 吨 _1. u _1. 吨 _1. ) P _3. + 吨 _1. 吨 _1. 吨 _1. P _4.

哪里 u ₀ =1 吨 ₀ 和 u _1. =1 吨 _1. 。

请注意,在带括号的表达式中,至少有一些项是相等的,并且可以组合。我没有这样做,因为我相信这里所说的公式会使模式更加清晰。您可以简单地为 x 和 y 计算新控制点的方向。