首先,让我在笔记本电脑上显示计时统计数据。我使用的5000 x 5000矩阵足以进行基准测试,并且
microbenchmark
包用于100次评估。
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max
colSums(x) 71.40671 71.64510 71.80394 71.72543 71.80773 75.07696
Cpp_colSums(x) 71.29413 71.42409 71.65525 71.48933 71.56241 77.53056
Sugar_colSums(x) 73.05281 73.19658 73.38979 73.25619 73.31406 76.93369
Arma_colSums(x) 39.08791 39.34789 39.57979 39.43080 39.60657 41.70158
rowSums(x) 177.33477 187.37805 187.57976 187.49469 187.73155 194.32120
Cpp_rowSums(x) 54.00498 54.37984 54.70358 54.49165 54.73224 64.16104
Sugar_rowSums(x) 54.17001 54.38420 54.73654 54.56275 54.75695 61.80466
Arma_rowSums(x) 49.54407 49.77677 50.13739 49.90375 50.06791 58.29755
R内核中的C代码并不总是比我们自己编写的代码好。那个
Cpp_rowSums
比
rowSums
显示这个。我觉得自己没有能力解释为什么R的版本比应该的慢。我将专注于:
如何进一步优化自身
colSums
和
行和
打败犰狳
. 请注意,我编写C,使用R的旧C接口并使用
R CMD SHLIB
.
有什么实质性的区别吗
科尔苏姆
和
行和
?
如果我们有一个
n x n
比CPU缓存容量大得多的矩阵,
科尔苏姆
荷载
n×n
从RAM到缓存的数据,但是
行和
装载量是原来的两倍。,
2 x n x n
.
想想得到的向量,它包含了和:这个长度的多少倍-
n
向量从RAM加载到缓存中?为了
科尔苏姆
,它只加载一次,但是
行和
,它已加载
n个
时代。每次向它添加矩阵列时,它都会加载到缓存中,但由于太大而被逐出。
对于一个大的
n个
:
-
科尔苏姆
原因
n x n + n
从RAM到cache的数据加载;
-
行和
原因
n x n + n x n
数据从RAM加载到缓存。
换句话说,
行和
从理论上讲,它的记忆效率较低,而且速度可能较慢。
如何提高
科尔苏姆
?
由于RAM和cache之间的数据流很容易达到最优,因此惟一的改进是循环展开。将内循环(总和循环)展开2就足够了,我们将看到2倍的提升。
循环展开工作,因为它启用CPU的指令管道。如果每次迭代只进行一次加法运算,那么就不可能进行流水线操作;通过两次加法运算,指令级并行开始工作。我们还可以将循环展开4的深度,但我的经验是,深度2展开足以获得循环展开的大部分好处。
如何提高
行和
?
优化数据流是第一步。我们需要首先执行缓存阻塞以减少
2 x n x n
下降到
n×n
.
切掉这个
n×n
矩阵成若干行块:每个
2040 x n
(最后一块可能更小),然后应用普通
行和
一块一块。对于每个块,累加器向量的长度为2040,大约是32KB CPU缓存容量的一半。对于添加到此累加器向量的矩阵列,另一半是相反的。这样,累加器向量就可以保存在缓存中,直到处理该块中的所有矩阵列。因此,累加器向量只加载到缓存中一次,因此总体内存性能与
科尔苏姆
.
现在我们可以进一步应用循环展开
行和
在每一块中。展开外环和内环的深度为2,我们将看到一个提升。一旦外部循环被展开,块大小应该减少到1360,因为现在我们需要缓存中的空间来保存三个长度-每个外部循环迭代1360个向量。
C代码:让我们打败犰狳
使用循环展开来编写代码可能是一件麻烦的工作,因为我们现在需要为一个函数编写几个不同的版本。
为了
科尔苏姆
,我们需要两个版本:
-
colSums_1x1
:内部和外部循环都以深度1展开,即这是一个没有循环展开的版本;
-
colSums_2x1
:不展开外部循环,而展开内部循环时深度为2。
为了
行和
我们最多可以有四个版本,
rowSums_sxt
,其中
s = 1 or 2
是内环和
t = 1 or 2
是外环的展开深度。
如果我们一个接一个地编写每个版本,代码编写可能会非常乏味。在经历了多年的挫折之后,我开发了一个使用内联模板函数和宏的“自动代码/版本生成”技巧。
#include <stdlib.h>
#include <Rinternals.h>
static inline void colSums_template_sx1 (size_t s,
double *A, size_t LDA,
size_t nr, size_t nc,
double *sum) {
size_t nrc = nr % s, i;
double *A_end = A + LDA * nc, a0, a1;
for (; A < A_end; A += LDA) {
a0 = 0.0; a1 = 0.0;
if (nrc > 0) a0 = A[0];
for (i = nrc; i < nr; i += s) {
a0 += A[i];
if (s > 1) a1 += A[i + 1];
}
if (s > 1) a0 += a1;
*sum++ = a0;
}
}
#define macro_define_colSums(s, colSums_sx1) \
SEXP colSums_sx1 (SEXP matA) { \
double *A = REAL(matA); \
size_t nrow_A = (size_t)nrows(matA); \
size_t ncol_A = (size_t)ncols(matA); \
SEXP result = PROTECT(allocVector(REALSXP, ncols(matA))); \
double *sum = REAL(result); \
colSums_template_sx1(s, A, nrow_A, nrow_A, ncol_A, sum); \
UNPROTECT(1); \
return result; \
}
macro_define_colSums(1, colSums_1x1)
macro_define_colSums(2, colSums_2x1)
template函数计算(在R语法中)
sum <- colSums(A[1:nr, 1:nc])
对于矩阵
A
具有
LDA
(A)行的前导维度。参数
s
是内部循环展开的版本控制。模板函数包含许多
if
. 但是,它被宣布
static inline
. 如果通过将已知常数1或2传递给
s公司
,优化编译器能够计算
如果
在编译时,消除不可访问的代码,删除“set but not used”变量(注册初始化、修改但不写回RAM的变量)。
宏用于函数声明。接受常数
s公司
以及函数名,它生成具有所需循环展开版本的函数。
以下为
行和
.
static inline void rowSums_template_sxt (size_t s, size_t t,
double *A, size_t LDA,
size_t nr, size_t nc,
double *sum) {
size_t ncr = nc % t, nrr = nr % s, i;
double *A_end = A + LDA * nc, *B;
double a0, a1;
for (i = 0; i < nr; i++) sum[i] = 0.0;
if (ncr > 0) {
if (nrr > 0) sum[0] += A[0];
for (i = nrr; i < nr; i += s) {
sum[i] += A[i];
if (s > 1) sum[i + 1] += A[i + 1];
}
A += LDA;
}
for (; A < A_end; A += t * LDA) {
if (t > 1) B = A + LDA;
if (nrr > 0) {
a0 = A[0]; if (t > 1) a0 += A[LDA];
sum[0] += a0;
}
for(i = nrr; i < nr; i += s) {
a0 = A[i]; if (t > 1) a0 += B[i];
sum[i] += a0;
if (s > 1) {
a1 = A[i + 1]; if (t > 1) a1 += B[i + 1];
sum[i + 1] += a1;
}
}
}
}
#define macro_define_rowSums(s, t, rowSums_sxt) \
SEXP rowSums_sxt (SEXP matA, SEXP chunk_size) { \
double *A = REAL(matA); \
size_t nrow_A = (size_t)nrows(matA); \
size_t ncol_A = (size_t)ncols(matA); \
SEXP result = PROTECT(allocVector(REALSXP, nrows(matA))); \
double *sum = REAL(result); \
size_t block_size = (size_t)asInteger(chunk_size); \
size_t i, block_size_i; \
if (block_size > nrow_A) block_size = nrow_A; \
for (i = 0; i < nrow_A; i += block_size_i) { \
block_size_i = nrow_A - i; if (block_size_i > block_size) block_size_i = block_size; \
rowSums_template_sxt(s, t, A, nrow_A, block_size_i, ncol_A, sum); \
A += block_size_i; sum += block_size_i; \
} \
UNPROTECT(1); \
return result; \
}
macro_define_rowSums(1, 1, rowSums_1x1)
macro_define_rowSums(1, 2, rowSums_1x2)
macro_define_rowSums(2, 1, rowSums_2x1)
macro_define_rowSums(2, 2, rowSums_2x2)
注意,模板函数现在接受
s公司
和
t
,宏定义的函数已应用行分块。
即使我在代码中留下了一些注释,代码可能仍然不容易理解,但是我不能花更多的时间来解释更详细的内容。
要使用它们,请将它们复制并粘贴到一个名为“matSums.C”的C文件中,并使用
R CMD SHLIB -c matSums.c
.
对于R端,在“matSums.R”中定义以下函数。
colSums_zheyuan <- function (A, s) {
dyn.load("matSums.so")
if (s == 1) result <- .Call("colSums_1x1", A)
if (s == 2) result <- .Call("colSums_2x1", A)
dyn.unload("matSums.so")
result
}
rowSums_zheyuan <- function (A, chunk.size, s, t) {
dyn.load("matSums.so")
if (s == 1 && t == 1) result <- .Call("rowSums_1x1", A, as.integer(chunk.size))
if (s == 2 && t == 1) result <- .Call("rowSums_2x1", A, as.integer(chunk.size))
if (s == 1 && t == 2) result <- .Call("rowSums_1x2", A, as.integer(chunk.size))
if (s == 2 && t == 2) result <- .Call("rowSums_2x2", A, as.integer(chunk.size))
dyn.unload("matSums.so")
result
}
现在让我们有一个基准,同样有一个5000 x 5000矩阵。
A <- matrix(0, 5000, 5000)
library(microbenchmark)
source("matSums.R")
microbenchmark("col0" = colSums(A),
"col1" = colSums_zheyuan(A, 1),
"col2" = colSums_zheyuan(A, 2),
"row0" = rowSums(A),
"row1" = rowSums_zheyuan(A, nrow(A), 1, 1),
"row2" = rowSums_zheyuan(A, 2040, 1, 1),
"row3" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 1, 2),
"row4" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 2, 2))
在我的笔记本电脑上我得到:
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max neval
col0 65.33908 71.67229 71.87273 71.80829 71.89444 111.84177 100
col1 67.16655 71.84840 72.01871 71.94065 72.05975 77.84291 100
col2 35.05374 38.98260 39.33618 39.09121 39.17615 53.52847 100
row0 159.48096 187.44225 185.53748 187.53091 187.67592 202.84827 100
row1 49.65853 54.78769 54.78313 54.92278 55.08600 60.27789 100
row2 49.42403 54.56469 55.00518 54.74746 55.06866 60.31065 100
row3 37.43314 41.57365 41.58784 41.68814 41.81774 47.12690 100
row4 34.73295 37.20092 38.51019 37.30809 37.44097 99.28327 100
注意循环展开如何加快
科尔苏姆
和
行和
. 通过完全优化(“col2”和“row4”),我们击败了犰狳(见本答案开头的时间表)。
在这种情况下,行分块策略并不能明显地产生效益。让我们试试有数百万行的矩阵。
A <- matrix(0, 1e+7, 20)
microbenchmark("row1" = rowSums_zheyuan(A, nrow(A), 1, 1),
"row2" = rowSums_zheyuan(A, 2040, 1, 1),
"row3" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 1, 2),
"row4" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 2, 2))
我明白了
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max neval
row1 604.7202 607.0256 617.1687 607.8580 609.1728 720.1790 100
row2 514.7488 515.9874 528.9795 516.5193 521.4870 636.0051 100
row3 412.1884 413.8688 421.0790 414.8640 419.0537 525.7852 100
row4 377.7918 379.1052 390.4230 379.9344 386.4379 476.9614 100
在本例中,我们观察缓存阻塞带来的好处。
最后的想法
基本上,这个答案解决了所有问题,除了以下问题:
-
为什么是R
行和
没有它应有的效率。
-
为什么没有任何优化,
行和
(“row1”)比
科尔苏姆
(“col1”)。
再说一遍,我不能解释第一个,实际上我不在乎,因为我们可以很容易地编写一个比R的内置版本快的版本。
第二个绝对值得追求。我在我们的讨论室里把我的评论抄下来存档。
这个问题可以归结为:“为什么添加一个向量要比添加两个向量慢?”
我时常看到类似的现象。我第一次遇到这种奇怪的行为是,几年前,我编码我自己的矩阵乘法。我发现DAXPY比DDOT快。
DAXPY这样做:
y += a * x
,其中
x
和
y
是向量和
a
是标量;DDOT执行以下操作:
a += x * y
.
假设DDOT是一个还原操作,我希望它比DAXPY快。但不,达斯比更快。
然而,只要我在矩阵乘法的三环嵌套中展开循环,DDOT就比DAXPY快得多。
你的问题也发生了类似的事情。还原操作:
a = x[1] + x[2] + ... + x[n]
比按元素添加慢:
y[i] += x[i]
. 但一旦完成循环展开,后者的优势就丧失了。
我不确定下面的解释是否正确,因为我没有证据。
归约操作有一个依赖链,因此计算是严格串行的;另一方面,元素级操作没有依赖链,因此CPU可以更好地使用它。
一旦我们展开循环,每次迭代都有更多的算法要做,CPU在这两种情况下都可以做流水线。然后可以观察到还原操作的真正优势。
答复
Jaap
关于使用
rowSums2
和
colSums2
从
matrixStats
仍然使用上面的5000 x 5000示例。
A <- matrix(0, 5000, 5000)
library(microbenchmark)
source("matSums.R")
library(matrixStats) ## NEW
microbenchmark("col0" = base::colSums(A),
"col*" = matrixStats::colSums2(A), ## NEW
"col1" = colSums_zheyuan(A, 1),
"col2" = colSums_zheyuan(A, 2),
"row0" = base::rowSums(A),
"row*" = matrixStats::rowSums2(A), ## NEW
"row1" = rowSums_zheyuan(A, nrow(A), 1, 1),
"row2" = rowSums_zheyuan(A, 2040, 1, 1),
"row3" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 1, 2),
"row4" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 2, 2))
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max neval
col0 71.53841 71.72628 72.13527 71.81793 71.90575 78.39645 100
col* 75.60527 75.87255 76.30752 75.98990 76.18090 87.07599 100
col1 71.67098 71.86180 72.06846 71.93872 72.03739 77.87816 100
col2 38.88565 39.03980 39.57232 39.08045 39.16790 51.39561 100
row0 187.44744 187.58121 188.98930 187.67168 187.86314 206.37662 100
row* 158.08639 158.26528 159.01561 158.34864 158.62187 174.05457 100
row1 54.62389 54.81724 54.97211 54.92394 55.04690 56.33462 100
row2 54.15409 54.44208 54.78769 54.59162 54.76073 60.92176 100
row3 41.43393 41.63886 42.57511 41.73538 41.81844 111.94846 100
row4 37.07175 37.25258 37.45033 37.34456 37.47387 43.14157 100
我不认为
游泳池2
和
阴道炎2
.