通常,对于此类问题,可以使用Rcpp包将函数一对一转换为C++。这应该会大大加快速度。

首先,R版本:

random_sum <- function(loop = 1000) {
  x<-c(0,0)
  z<-0
  for(i in 2:loop) {
    x[1]<-x[2]
    x[2]<-x[1]+rnorm(1, 0, 1)
    if (x[2]<0) {z<-z+1}
  }
  z / loop
}
set.seed(123)
random_sum()
# [1] 0.134

现在是C++版本:

library("Rcpp")
cppFunction("
  double random_sum_cpp(unsigned long loop = 1000) {
    double x1 = 0;
    double x2 = 0;
    double z = 0;
    for (unsigned long i = 2; i < loop; i++) {
      x1 = x2;
      x2 = x1 + Rcpp::rnorm(1)[0];
      if (x2 < 0) z = z+1;
    }
    return z/loop;
  }")

set.seed(123)
random_sum_cpp()
# [1] 0.134

为了完整性,我们还考虑一下所提出的矢量化版本:

random_sum_vector <- function(loop = 1000) {
  Y = rnorm(loop)
  sum(cumsum(Y)<0)/loop
}
set.seed(123)
random_sum_vector()
# [1] 0.134

我们看到,对于相同的随机种子,它给出了相同的结果,因此它似乎是一个可行的竞争者。

在基准测试中,C++版本和矢量化版本的性能类似,矢量化版本显示出略高于C++版本的优势:

> microbenchmark(random_sum(100000),
                 random_sum_vector(100000),
                 random_sum_cpp(100000))
Unit: milliseconds
                     expr        min         lq       mean     median         uq       max neval
        random_sum(1e+05) 184.205588 199.859266 209.220232 205.137043 211.026740 274.47615   100
 random_sum_vector(1e+05)   6.320690   6.631704   7.273645   6.799093   7.334733  18.48649   100
    random_sum_cpp(1e+05)   8.950091   9.362303  10.663295   9.956996  11.079513  21.30898   100

然而,矢量化版本在速度与内存和 will blow up your memory for long loops. C++版本几乎不使用内存。

对于10^9个步骤,C++版本在我的机器上运行大约需要2分钟(110秒)。我没有尝试R版本。根据较短的基准,可能需要7个小时左右。

> microbenchmark(random_sum_cpp(10^9), times = 1)
Unit: seconds
                 expr      min       lq     mean   median       uq      max neval
 random_sum_cpp(10^9) 110.2182 110.2182 110.2182 110.2182 110.2182 110.2182     1

这应该快得多,但任何事情都可能需要一段时间。用较小的长度值(如10^6)来测试这一点可能会更好。

length = 10^9
Y = rnorm(length)
sum(cumsum(Y)<0)/length

编辑

根据@user3666197的评论,我对此进行了测试,他是正确的。 此解决方案适用于较小的数字,但一旦步骤数过大,它就会失败。

我用OP的代码测试了我的“矢量化”版本。当随机游走的长度为10^8时,我的代码用了大约7秒,OP的代码用了131秒(在我的笔记本电脑上)。然而,当我将长度增加到10^9时(根据最初的问题),我的版本导致了大量磁盘交换,我不得不终止该进程。此解决方案在OP要求的规模下失败。

一种解决方案是使用@G5W提出的矢量化方法,但将其分解为更小的块以避免任何内存溢出问题。这为您提供了矢量化解决方案的速度,但通过管理块大小,您可以控制进程使用的内存量。

下面将问题分解为1e+07块,循环100次,总共得到1e+09块。

在第一个块的末尾,记录低于0的时间百分比和终点。然后将结束点输入到下一个块,并记录0以下的时间百分比和新的结束点。

最后,平均100次跑步,使总时间低于零。呼叫 cat 在while循环中,可以监视进度并查看进度,这可以被注释掉。

funky <- function(start, length = 1e+07) {
  Y <- rnorm(length)
  Z <- cumsum(Y)
  c(sum(Z<(-start))/length, (tail(Z, 1) + start))
}

starttime <- Sys.time()
resvect <- vector(mode = "numeric", length = 100)
result <- funky(0)
resvect[1] <- result[1]
i <- 2
while (i < 101) {
  cat(result, "\n")
  result <- funky(result[2])
  resvect[i] <- result[1]
  i <- i + 1
}
mean(resvect)
# [1] 0.1880392
endtime <- Sys.time()
elapsed <- endtime - starttime
elapsed
# Time difference of 1.207566 mins

如果随机性源在技术上被构造为其他确定性硬件的一种能力,以满足生成流的重复性要求以及通过某种伪随机生成器算法实现“生成”随机性的所有条件,那么这种随机性源不容易从纯- [SERIAL] 变成任何形式的“正义”- [CONCURRENT] 或者是真的- [PARALLEL] 作案手法。

也就是说,PRG步骤是任何试图重新定义纯- [序列号] 代码执行。

这不会改变(非)负的百分比 X(t) -值,但仅确定对于给定的PRG硬件实现,没有更短的方法,而是- [序列号] 相互(连续)依赖值的生成顺序。

展开“慢速”循环或准-( _{因为这些值仍然是连续相关的} )-矢量化过程(R语言实现的特点是利用但几乎是硬件CPU指令集级别的技巧,因此不是语言游戏规则的改变者,而是绕过一些故意缓慢的代码执行构造函数)是最可能发生的。

使用向量通常会产生比循环更好的性能。对于非常大的数字(即10^9),这里的问题是内存限制。由于您只对负指数的最终百分比感兴趣,因此以下内容将起作用(在10^9步骤中需要几分钟)。

update_state <- function (curr_state, step_size) {
  n <- min(curr_state$counter, step_size)
  r <- rnorm(min(curr_state$counter, step_size))
  total <- curr_state$cum_sum + cumsum(r)

  list('counter' = curr_state$counter - n,
       'neg_count' = curr_state$neg_count + length(which(total < 0)),
       'cum_sum' = curr_state$cum_sum + sum(r))
}


n <- 10^9
curr_state <- list('counter' = n, 'neg_count' = 0, 'cum_sum' = 0)

step_size <- 10^8
while (curr_state$counter > 0) {
  curr_state <- update_state(curr_state = curr_state, step_size = step_size)
}

print(curr_state)
print(curr_state$neg_count/ n)